拓扑与几何( 一 )

1.概述

拓扑：研究图形在连续变换下保持不变的性质（整体性质）的学科

分类：

  • 代数拓扑
  • 微分拓扑
  • 低微拓扑
    表述方式：
  • 一般拓扑学
  • 点集拓扑学

2. 预备知识

  • 多元函数连续

    1.定义：设$f$为定义在点击$D\subset R^2$上的二元函数， $P\in D$(他或者是$D$的聚点或者是$D$的孤立点)，对于任给的正数$\epsilon$，总存在相应的正数$\delta$，只要$P\in U(P_0;\delta)\cap D$就有$$|f(P)-f(P)|<\epsilon$$则称$f$关于集合$D$在点$P_0$连续，在不至误的情况下，也称在点$P_0$连续。

    2.集合论:

    1. 数集：$\mathbb{N}$(自然数集)，$\mathbb{Z}$（整数集），$\mathbb{Q}$（有理数集），$\R$（实数集），$\mathbb{C}$（复数集）
    2. 表示$A={x\in X|P(x)}$
    3. 真包含：$A \subseteq B$
    4. 包含：$A\subset B$R
    5. 幂集：就是原集合中所有的子集（包括全集和空集）构成的集族$2^x\triangleq X的所有子集合（元素）所组成的集合$
    6. 集族：集族是由具有某种性质的一些集合所构成的集合，即“集合的集合”
    7. 交集：$\bigcap_{\lambda\in \bigwedge} A_{\lambda}={x\in X|\forall \lambda\in \bigwedge, x\in\bigwedge_\lambda}$
    8. 并集：$\bigcup_{\lambda\in \bigwedge} A_{\lambda}={x\in X|\exist \lambda\in \bigwedge, x\in\bigwedge_\lambda}$
    9. 算律：
      1. 交换律：$A\bigcap B = B\bigcap A,A\bigcup B = B\bigcup A$
      2. 结合律：$(A\bigcup B)\bigcup C=A\bigcup (B\bigcup C)$
      3. 分配律：$A\bigcup (\bigcap B_{\lambda})= \bigcap(A\bigcup B_{\lambda})$,$A\bigcap (\bigcup B_{\lambda})= \bigcup(A\bigcap B_{\lambda})$