拓扑与几何( 一 )

1.概述

拓扑:研究图形在连续变换下保持不变的性质(整体性质)的学科

分类:

  • 代数拓扑
  • 微分拓扑
  • 低微拓扑
    表述方式:
  • 一般拓扑学
  • 点集拓扑学

2. 预备知识

  • 多元函数连续

    1.定义:设$f$为定义在点击$D\subset R^2$上的二元函数, $P\in D$(他或者是$D$的聚点或者是$D$的孤立点),对于任给的正数$\epsilon$,总存在相应的正数$\delta$,只要$P\in U(P_0;\delta)\cap D$就有$$|f(P)-f(P)|<\epsilon$$则称$f$关于集合$D$在点$P_0$连续,在不至误的情况下,也称在点$P_0$连续。

    2.集合论:

    1. 数集:$\mathbb{N}$(自然数集),$\mathbb{Z}$(整数集),$\mathbb{Q}$(有理数集),$\R$(实数集),$\mathbb{C}$(复数集)
    2. 表示$A={x\in X|P(x)}$
    3. 真包含:$A \subseteq B$
    4. 包含:$A\subset B$R
    5. 幂集:就是原集合中所有的子集(包括全集和空集)构成的集族$2^x\triangleq X的所有子集合(元素)所组成的集合$
    6. 集族:集族是由具有某种性质的一些集合所构成的集合,即“集合的集合”
    7. 交集:$\bigcap_{\lambda\in \bigwedge} A_{\lambda}={x\in X|\forall \lambda\in \bigwedge, x\in\bigwedge_\lambda}$
    8. 并集:$\bigcup_{\lambda\in \bigwedge} A_{\lambda}={x\in X|\exist \lambda\in \bigwedge, x\in\bigwedge_\lambda}$
    9. 算律:
      1. 交换律:$A\bigcap B = B\bigcap A,A\bigcup B = B\bigcup A$
      2. 结合律:$(A\bigcup B)\bigcup C=A\bigcup (B\bigcup C)$
      3. 分配律:$A\bigcup (\bigcap B_{\lambda})= \bigcap(A\bigcup B_{\lambda})$,$A\bigcap (\bigcup B_{\lambda})= \bigcup(A\bigcap B_{\lambda})$